Как изогнуть пространство?

С тех пор как общая теория относительности получила право на существование, в лексиконе физиков появились такие странные понятия, как «кривизна пространства», «замкнутый мир», «незамкнутый мир»... Что это такое, понять трудно, а представить невозможно. Обычно на помощь призывают аналогию (впервые, еще в 1917 году, ею воспользовался сам Эйнштейн, растолковывая широкой публике головоломные сложности придуманной им теории]. Вообразите на минуту, что на некоей совершенно ровной плоскости живут некие «двумерные» разумные существа. Этим существам знакомы лишь понятия: «вправо – влево», «вперед – назад». «Вверх» и «вниз» для них не существует. «Двумерные» люди прекрасно знают эвклидову геометрию и очень довольны, что их двумерное пространство вполне соответствует этой простой геометрии: сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам, а через две точки можно провести только одну прямую...

Представьте себе далее, что плоскость как-нибудь произвольно изогнулась, двумерное пространство сделалось кривым. Большинство жителей, его населяющих, естественно, ровным счетом ничего не замечают, продолжая преспокойно ползать по своим делам. Лишь небольшая кучка просвещенных математиков тамошней страны с тревогой обнаруживает, что пространство вдруг стало неэвклидовым: сумма углов треугольника перестала равняться двум д и т. д. и т. п. В чем депо! Математики судят и рядят так и этак. Наконец самый гениальный из них высказывает «сумасшедшую» идею, что их двумерный мир искривлен.

...В конце концов гипотеза «свихнувшегося» геометра принимается за истину, хотя воочию представить, что она означает, ни один из «двумерных» мыслителей так никогда и не может.

По сравнению с ними мы себя чувствуем почти богами: нам нетрудно вообразить кривым «плоский» мир этих существ. Однако и наше воображение пасует, как только депо касается кривизны нашего собственного трехмерного мира, тем более – четырехмерного пространства – времени. Лишь аналогия с изогнутой, покоробленной плоскостью предоставляет для мысленного взора некоторую зацепку. Увы, не слишком большую...

Закон всемирной кривизны

Для изгиба пространства должна быть какая-то причина. Можно представить, что плоскость, по которой ползают «двумерные» существа, прогибается оттого, что на нее взгромоздили некую гирю. Подобно этому и трехмерное пространство искривляется при некоторых специфических обстоятельствах – вблизи значительных масс вещества. Тут оно более всего отличается от эвклидова. Напротив, в отдалении от таких точек кривизна делается все меньше и меньше, так что в конце концов мир становится эвклидовым.

А каково в целом пространство, заполненное материей! Точнее говоря, не заполненное, а образованное ею, ибо пространство без материи – нонсенс, нечто не имеющее смысла. Двумерный мир, плоскость, мы в состоянии изогнуть так, что получится какая-нибудь незамкнутая поверхность, например, наподобие седла. А захотим – замкнем ее, сделав, допустим, сферу. Подобным же образом искривленное трехмерное пространство может быть в целом разомкнутым, а может замкнутым. Это также зависит от многих обстоятельств. Поскольку стационарный мир, у которого радиус кривизны со временем не меняется, по общему убеждению, – вещь маловероятная, внимание исследователей ныне привлекают главным образом нестационарные модели мира. В отношении их говорят вполне определенно, что такой мир будет разомкнут, если плотность материи в нем ниже некоторой критической величины. В этом случае он способен расширяться до бесконечности. Луч света, выпущенный из какой-нибудь точки внутри него, никогда не вернется назад (если только не отразится от какой-либо встреченной на пути преграды]. Напротив, если плотность превышает критическую, пространство окажется замкнутым: оно будет то расширяться, то сжиматься, не выходя за некоторые пределы.

Нечто похожее на такой «пульсирующий» мир мы получим, надувая и спуская резиновую камеру внутри покрышки футбольного мяча. (Почему именно футбольного, а не волейбольного, например! Просто потому, что футбольная покрышка, как известно, более жесткая, и ее сподручнее использовать в качестве модели некоего ограничителя, препятствующего чрезмерному раздуванию камеры.) При этом опять-таки не надо только забывать, что камера – двумерное замкнутое «пульсирующее» пространство, то есть нечто несравненно более простое, более поддающееся воображению, нежели трехмерный замкнутый мир.

В замкнутом пространстве свет, направленный нами в какую-либо сторону, в принципе, облетев все это пространство, может вернуться к нам с противоположной стороны. Короче говоря, и разомкнутый и замкнутый миры безграничны, однако если первый бесконечен, второй имеет конечные размеры.

Чем больше, тем меньше

Удивительные вещи происходят с замкнутым миром, даже и с двумерным. Представим себе, что наши плоские существа живут не на плоскости, а на поверхности шара. Случилось так, что за какую-то провинность они решили изгнать из своего общества одного из сограждан и очертили некую небольшую по сравнению со всей шаровой поверхностью) окружность, в пределы которой он не имеет права вступать. Представим далее, что через какое-то время община «двумерных» существ решила увеличить территорию, закрытую для доступа провинившегося, и провела из того же центра окружность большего радиуса. Такая операция повторяется вновь и вновь – до тех пор, пока вся сферическая поверхность не станет для изгнанника запретной. Что при этом происходит! Сначала длина ограничительной окружности растет по мере увеличения радиуса, а затем начинает уменьшаться и в конце концов обращается в математическую точку, исчезает из поля зрения (правда, за мгновение перед этим сам изгнанник должен навсегда покинуть поверхность шара, подпрыгнуть, чтобы дать возможность сомкнуться окружности, которая стягивалась вокруг него, и очутиться в каком-то совершенно немыслимом для «двумерного» существа третьем измерении, в каком-то ином, потустороннем мире).

Сходным образом обстоит дело и в трехмерном замкнутом пространстве с той лишь разницей, что тут в любой ситуации опять-таки требуется поправка «плюс единица» к числу измерений. Допустим, это пространство имеет форму открытой Георгом Риманом трехмерной сферы (трехмерного прототипа обычной сферической поверхности). Изгонять нежелательного субьекта придется, поставив перед ним преграду уже не в виде окружности, а, допустим, в виде достаточно толстой хрустальной сферы, наподобие той, которая, как полагали древние, несет на себе звезды и ограничивает вселенную. О величине запретного для него пространства изгнанник, естественно, может судить лишь по тому, как велика площадь хрустальной поверхности. Вот он заметил, что площадь увеличилась: это карательные органы его бывших соплеменников решили ужесточить для него наказание, увеличили радиус сферы, оттесняя его на «периферию» пространства. Так повторяется много раз. Внезапно, однако, новое открытие: поверхность сферы начала сокращаться. Что это! Судьи смилостивились! Увы, тщетная надежда. Радиус сферы продолжает неумолимо расти, но геометрия неевклидового пространства такова, что по мере роста радиуса сферы площадь ее поверхности, достигнув некоторой наибольшей величины, делается все меньше и меньше, пока, наконец, не обращается в нуль. В конце концов наш изгнанник оказывается, словно Диоген, в бочке. Единственный путь к спасению – как-то выпрыгнуть из этого мира в другой, если, конечно, он существует.

Масса с «дефектом»

По мере роста радиуса сферы удивительные вещи происходят не только с величиной ее поверхности, но и с общей массой материи, заключенной внутри нее. Казалось бы, чем больше рассеянной материи оказывается в пределах этой сферы, тем больше должна быть ее «суммарная» масса. Ан нет. В первое время она и вправду увеличивается с ростом радиуса сферы (хотя и медленнее, чем простая арифметическая сумма отдельных масс), однако затем общая масса материи начинает катастрофически уменьшаться и в конце концов, как и величина поверхности, обращается в нуль.

Причина! Она в так называемом гравитационном дефекте массы, который, подобно ядерному дефекту, определяют исходя из известной эйнштейновской формулы. Эта формула, как мы знаем, утверждает, что энергия и масса любого материального объекта, находящегося в покое, пропорциональны друг другу. В то же время энергия некоторой системы, состоящей из нескольких объектов, меньше суммы их энергий – на величину энергии связи, действующей между ними. Значит, и общая масса меньше арифметической суммы масс. Образуется как бы некий «дефект». В такой системе, как замкнутая вселенная, в «дефект» уходит вся масса, без остатка.

Замкнутый мир и так-то никоим образом не проявляет себя «вовне»: ни световые, ни радио, ни любые другие сигналы не могут вырваться из него «наружу». Но если бы даже у нас были основания подозревать, что он существует в некоторой области «внешнего» по отношению к нему пространства, и мы попытались бы создать в своем воображении некий зримый образ его, мы, по всем правилам, опять-таки должны были бы представить его как нечто, не имеющее ни размеров, ни массы, то есть как ничто (учитывая к тому же, что полный электрический заряд замкнутого мира также равен нулю]. Получается как бы ничто в квадрате.

Предположим, однако, что средняя плотность материи в каком-то пространстве чуть-чуть меньше критической. В этом случае замкнутого мира не получится. Получится ПОЧТИ замкнутый. Кажется, ну, что такое «почти», стоит ли о нем говорить особо! Оказывается, стоит, ибо тут между «полностью» и «почти» качественное различие.

В почти замкнутом мире поверхность сферы при увеличении радиуса, как и в мире, полностью замкнутом, до поры до времени растет, а затем начинает уменьшаться. Однако уменьшение это не беспредельно: достигнув некоторой минимальной величины, поверхность опять станет увеличиваться, и в конце концов при очень больших радиусах пространство сделается эвклидовым.

По образовавшемуся «коридору» наш изгнанник может спокойно, не прибегая к чудесам и потусторонним силам, покинуть свою «бочку Диогена», а при случае, если выйдет амнистия, и возвратиться в свой родной мир. До той же поры из его «эвклидова далека» покинутая им «бочка» – сфера наименьшего радиуса – будет представляться ему теми «воротами», за которыми скрывается запретная для него вселенная.

• Страницы:
• 1
• 2
• следующая

Представьтесь или зарегистрируйтесь, чтобы участвовать в обсуждении.