Математические сказки и теория множеств

Заметим: демократизация понятия «математическое мышление», приобщение к нему все более и более широких слоев общества — одна ив актуальнейших проблем современного мира.

Однако на практике все происходит как раз наоборот. Вот что писал недавно профессор К. Саллер, директор Института антропологии и генетики человека при Мюнхенском университете:

«В ФРГ были проведены подробные сравнительные исследования по общему изменению одаренности, происшедшему за последнее десятилетие. Они показали, что за годы после второй мировой войны по сравнению с более ранним периодом произошло снижение способностей прежде всего в области специфично логического мышления и в отношении сосредоточенности при непрерывной работе. Еще более снизились способности в области математического мышления, памяти, внимания и тщательности работы. Напротив, возросли чисто практические способности».

Естественно, изменения эти произошли не без влияния утвердившейся традиционной системы образования, о которой мы уже говорили.

Где же выход? С этим вопросом я обратился к одному из крупнейших советских психологов — профессору П. Гальперину.

Выход, по мнению П. Гальперина, надо искать в формировании у ребенка научного подхода к явлениям повседневной жизни, в воспитании математического образа мышления.

Что же входит в понятие «математическое мышление»? Умение схематизировать процесс, выбрав главное и отбросив второстепенное; умение анализировать, членить явление на элементы; умение обобщать разные элементы, находя в них общие черты; наконец, умение находить эталон для измерения и измерять эти элементы выбранным эталоном. Словом, мыслить математически — это отнюдь не только уметь считать. Это больше, значительно больше.

Воспитанию научного мировоззрения, интеллектуального восприятия мира у человека, вступающего в жизнь, составлению программ обучения должны предшествовать тщательные исследования детской психологии.

Известный швейцарский психолог Ж. Пиаже поставил ряд любопытнейших опытов с детьми разных возрастов. Вот некоторые из них. Ребенок отмеривает одинаковое количество бусин синих и красных в два одинаковых сосуда. Потом синие бусины пересыпают в сосуд другой формы; там их уровень ниже, нежели в первом сосуде, где остались красные шарики. Ребенок пяти-шести лет говорит, что синих бусин стало меньше (хотя сам же отмерил их одинаковое количество). Причина ошибки: ребенок один признак системы — понижение уровня насыпанного материала при изменении формы сосуда — переносит на всю систему.

Ребенок старше семи лет такой ошибки не допускает. Он уже умеет выделить в своем сознании признак «количество» и ощущает неизменность этого признака при любом изменении формы сосуда.

Не менее интересны геометрические изыскания. Известно, что преподавание геометрии строится по трехэтапной схеме. Сначала системы Эвклида — фигуры, углы, координаты. Затем проективная геометрия — отражение тех или иных конструкций в разных плоскостях. И, наконец, топология — наука о взаимном расположении фигур в пространстве.

В психике ребенка формирование этих понятий происходит в обратном порядке. Вот простейший опыт. Ребенку дают лист бумаги с одной-единственной пометкой и предлагают пометку эту перенести на другой точно такой же лист бумаги. Если испытуемому 5 — 6 лет, он действует «на глазок» — ставит точку примерно там, где она, как ему кажется, должна быть. Ребенок постарше измеряет расстояние от одной стороны листа до пометки и, пользуясь такой односторонней проекцией, переносит пометку на другой лист. Ребенок 9 лет измеряет расстояния от пометки до двух пересекающихся сторон листа (использует метод координат) и совершенно точно переносит пометку.

Из этого и других аналогичных опытов Пиаже сделал два вывода. Во-первых, о необходимости привести методику обучения геометрии в соответствие с формированием психического мира ребенка. Во-вторых, о невозможности учить ребенка тем или иным понятиям до тех пор, пока в его мозгу не сформировались системы, способные воспринять эти понятия (ибо в противном случае, по мнению Пиаже, изучение, познание будут подменены бездумным, неосознанным зазубриванием).

Если первый тезис швейцарского ученого не вызывает сомнений, то второй требует уточнения. Это показала дискуссия на XVIII психологическом конгрессе в Москве.

Вопросам обучения и умственного развития был посвящен один из самых дискуссионных симпозиумов. Швейцарская школа отстаивала разработанную Пиаже теорию о подчиненности воспитания внутреннему развитию ребенка. Предлагалось ждать, пока у ребенка в голове созреют все более сложные логические представления.

Советские ученые согласились с тем, что психика ребенка должна учитываться при обучении. Но значит ли, что развитие личности мы не можем стимулировать? Нет, не значит. Мы можем влиять не только на процесс обучения, но и на процесс подготовки учащегося к восприятию тех или иных знаний.

Доводы советских ученых подтверждаются опытами, проводимыми под руководством профессора П. Гальперина с детьми 5 — 7 лет. Экспериментаторы прежде всего знакомят ребенка с понятием «измерение». Малыши измеряют длину стола, количество песка, вес стакана и так далее. Детям это полуигровое времяпрепровождение приходится по вкусу. Развивается чуть ли не «эпидемия» — дошколята готовы вымерять все, начиная от собственного роста и кончая деревьями в саду. Пока дети играют, взрослые наблюдают за тем, как у них формируются понятия разных свойств предмета: объем — песок можно мерить стаканчиками, но нельзя веревочкой; вес — оказывается, маленький гвоздик весит столько же, сколько большой комок ваты. Затем делается следующий шаг. На доске наклеиваются фигурки лисиц и фигурки гусей. Их много, настолько много, что ребенок сосчитать не может. Предлагается узнать, на сколько лисиц больше, чем гусей.

Детям показывают метод меток: рядом с фигурками гусей располагаются квадратики, а лисы отмечаются треугольниками (так дети усваивают несколько отвлеченное понятие множества). Затем квадратики и треугольники снимаются с доски и выкладываются на столе — каждый квадратик против треугольника (так дети учатся сравнивать множества методом взаимно однозначного соотношения элементов). Лишние метки, которым не нашлось пары, указывают, на сколько одно множество больше другого.

Малыши быстро и успешно осваивают все перечисленные манипуляции. У них вырабатывается ценнейшее умение выделить в объекте его разные свойства и каждое измерить в отдельности (необходимое и достаточное условие для формирования математического «принципа сохранения», инвариантности). Ребенок, прошедший такой курс обучения, уже точно знает: единица — это то, что отмерено и равно своей мерке; если группа лисиц больше группы гусей на одну, то количество лисиц можно обозначить буквой а, а гусей — а — 1 (вместо несчитаемого большого числа появляется алгебраический символ, который позволяет установить нецифровое отношение предметов); если квадратики сложить на столе в виде одного большого квадрата, а потом перемешать и выложить длинным прямоугольником, то площади обеих фигур будут равны, ибо мы ничего не прибавили и не убавили. Естественно, что дети, не прошедшие «курса математики» в детском саду, таких выводов сделать не могут.

«Я увидел в темноте 4 кошачьих глаза. Сколько у этих кошек ног?» Такие задачи решают первоклассники 16-й московской школы (заметьте, здесь опробывается будущая программа для всех школ страны). Детишки постарше — 8 — 9 лет — успешно оперируют алгебраическими терминами и формулами, отлично выполняют геометрические построения и расчеты, владеют элементами теории множеств. На доске рядом с математическими значками — фигурки из сказок: Айболит и Бармалей, волк, козлята. Здесь они элементы множеств.