Колмогоровская панорама

Т Немчук| опубликовано в номере №967, сентябрь 1967
  • В закладки
  • Вставить в блог

Наш народ по праву гордится тем, что первая в мире социалистическая держава выдвинула выдающихся ученых, которые внесли огромный вклад в научно-технический прогресс человечества и составляют славу отечественной и мировой науки. Из Тезисов ЦК КПСС «50 лет Великой Октябрьской социалистической революции». Кабинет академика Колмогорова помещается на 12-м этаже высотного здания МГУ. Из окна видно далеко, но дымчатый городской воздух лишает строения индивидуальности, обобщает их, абстрагирует. Это уже не отдельные дома с фасадами, номерами, квартирами, подъездами, это не улицы даже, а скорее линии, фигуры, пространства. Словом, то, с чем имеет дело математик, с чем работает Андрей Николаевич многие годы. Свое первое «открытие» Колмогоров сделал примерно в шесть лет, как только ему попались в руки первые математические объекты - числа - и первые математические операции: сложение, умножение, возведение в степень. «Открытие» было такое: 1 = 12 1+3 = 22 1+3 + 5 = 32 1+3 + 5+7 = 42 Может быть, это многоточие, эта бесконечность власти над числами составляют одно из самых жгучих наслаждений математика. Можно покрыть всю бумагу, отпущенную на тираж, рядами нечетных чисел, но это ничуть не поколеблет закона, открывшегося нам в четырех строках... Однако, узнав все эти праздничные чувства в шесть лет, Андрей Колмогоров все же испытал некоторые колебания десять лет спустя, когда настала пора выбирать профессию. Во-первых, к тому времени ему нравилось многое другое, не одна математика; во-вторых же, не очень приятно было, что в том году на математический факультет университета принимали без экзаменов всех желающих. Согласитесь, что в семнадцать лет трудно целиком посвятить себя науке, которая так доступна. К счастью, тогда не было нынешнего жесткого разделения факультетов, и студент-математик мог записаться на самые разные курсы: по истории, по филологии, по биологии... Можно было стать математиком, не жертвуя свободой интересов. И Колмогоров им стал. А через некоторое время студент Колмогоров вдруг зачастил на семинар профессора-историка Сергея Владимировича Бахрушина. Его появления нельзя было не отметить. Он входил, барабаня по полу деревянными подошвами собственноручно изготовленных туфель. Картина довольно типичная для 1920 года, когда предельная материальная скудность уравновешивалась неслыханным в истории России духовным изобилием. Тогда в шутку говорили, что эпоха материализма началась с исчезновения материи: не было ни обуви, ни жилья, ни пищи, ни одежды, а лишь «вопрос» обувной и «вопрос» жилищный, «вопрос» продовольственный и «вопрос» текстильный. И тогда же создавалась новая архитектура и новое литературоведение, новое кино и новая поэзия. Все было необычно, все было впервые, все, как теперь говорят, содержало новую информацию. Здесь, на этом семинаре, чрезмерно громко переступая с ноги на ногу, Колмогоров читал свой первый научный доклад. Это был реферат о земельных отношениях в Новгороде, составленный по писцовым книгам XV-XVI веков. Для оценки достоверности выводов докладчик применял... математические методы, методы теории вероятностей. Конечно, такой доклад мог прочитать только студент-первокурсник, не оценивший ни консерватизма историков того времени, ни возможностей теории вероятностей, ни собственных сил. И тут удивительна не оригинальность темы - кто не был оригинален в семнадцать лет, - а ее реалистичность. Вышло так, что теория вероятностей сделалась впоследствии основной математической специальностью Андрея Николаевича, что благодаря его трудам она приобрела мощь, достаточную для того, чтобы победить недоверчивость историков, филологов, военачальников, чтобы войти в области жизни, куда прежде путь «с числом и мерою» был, казалось, запретен навеки. Но прежде чем Колмогоров напечатал свою первую работу, в его жизни произошло одно событие, о котором он не упоминает, но которое запомнилось его друзьям. В двадцать первом году у математиков второго курса появился новый лектор - Павел Самойлович Урысон. Он читал топологию, где им были сделаны и делались фундаментальные работы. Бывало, что он излагал студентам теоремы, которые сам доказал только недавно. Однажды на лекции в доказательстве Урысона была обнаружена ошибка. Не мелкая описка, а именно ошибка, которую Павел Самойлович смог исправить лишь на другой день; разумеется, при этом он посулил своему критику большое будущее. Этим критиком был студент Колмогоров. В том же учебном году 2 июня 1922 года Колмогоров завершил свою первую большую (она занимала неполных семь страниц!) математическую работу. Это была работа не о вероятностях, а о других вещах. Прошло еще три года, он испробовал силы на разных отраслях математики, и лишь тогда обратился к важнейшему в своей жизни. Его первая работа по теории вероятностей была сделана в 1925 году совместно с Александром Яковлевичем Хинчиным. К 1925 году теория вероятностей была уже развитой математической дисциплиной, далеко ушедшей от субъективности, которую вкладывает здравый смысл в слово «вероятно». Ее основы заложил еще Лаплас, определив вероятность случайного события как отношение числа благоприятных шансов к числу всевозможных исходов. Это определение сразу же дало вероятности некоторых событий численное выражение. «Теория вероятностей есть в сущности не что иное, как здравый смысл, сведенный к вычислениям», - так написал тогда Лаплас. Но чем дальше шло время, тем больше математики убеждались, что методами Лапласа можно «свести к вычислениям» не слишком большую долю здравого смысла. Можно даже понять, почему это так выходило. Столетиями ковала математика свое могучее оружие - дифференциалы и интегралы, развивалась теория множеств и математическая логика. Между тем теория вероятностей продолжала довольствоваться арифметикой, дробями. Из-за этого математики могли оценивать только вероятности очень простых ситуаций вроде игры в орлянку или кости (не зря ведь одним из первых экспериментаторов теории вероятностей был страстный игрок кавалер де-Мере). Между тем вероятностные, случайные ситуации окружают нас буквально со всех сторон. Разве не обязаны мы случайности самим фактом своего рождения? Разве нельзя рассматривать дискуссию, или экономическое соревнование, или военные действия как своего рода игру с партнерами, преследующими противоположные интересы, с определенными правилами, со своей ценой поражения и победы? И разве любое научное исследование не есть, в сущности, тоже игра, только игра с бесстрастным противником - с природой? Не правда ли, сразу чувствуется, что для оценки таких ситуаций одной арифметикой не обойтись. Нужно было пересмотреть самые основы теории вероятностей, устроить так, чтоб она включилась в общее движение отраслей математики, чтоб могла участвовать в обмене математическими идеями, пользоваться аналитическими методами других, более раз-витых математических отделов. Эту фундаментальную проблему, к которой впервые обратился французский математик Эмиль Берель в начале XX века, Андрей Николаевич решил сравнительно быстро - за 8 лет. В 1933 году - ему было тогда 30 - он опубликовал монографию о новом определении понятия вероятности. Это определение связало теорию вероятностей с теорией множеств и превратило ее основные понятия в давно известные математикам объекты - измеримые функции и интегралы. Это новое, колмогоровское определение вряд ли понравится человеку «со стороны» хотя бы потому, что оно непереводимо на обыкновенный язык в отличие от вероятности Лапласа. Впрочем, мы неодиноки в своих недоумениях. Коллегам Колмогорова, математикам, тоже нелегко давалось освоение этих идей. Как раз с того времени пошла гулять по университету шутка: когда Колмогоров читает студентам, его понимают лишь аспиранты, когда читает аспирантам, понимают доктора, а когда делает доклады докторам, то понимает его один Хинчин. Но что, спрашивается, заставляло этих шутников добиваться понимания колмогоровской теории? И не был ли сам тон этой шутки знаком безоговорочного признания, не так уж частого в среде математиков? Во всякой профессии есть свой риск. В профессии математика это риск непризнания. Есть грустный рассказ Гарина-Михайловского о местечковом гении, который в XX веке изобрел логарифмы. Но есть и быль - жизнь Николая Ивановича Лобачевского... Математик имеет дело с истинами, которые живут очень долго, несравненно дольше, чем длится жизнь одного человека, собственная жизнь самого математика. Вероятность прижизненного осознания очень крупной математической работы не так уж высока... И если труд Колмогорова был признан сразу и во всей полноте, то на это были очень веские исторические причины. Колмогоров сделал свою фундаментальную работу в годы, когда резко переменилось общее отношение к теории вероятностей, остававшееся неизменным в течение тысячелетий. Насчет тысячелетий тут нет преувеличения. За триста лет до нашей эры в первой «Физике» мира Аристотель написал так: «Самопроизвольность и случай есть нечто более второстепенное, чем и разум и природа». Жизнь человечества менялась, менялось и отношение ко взглядам Аристотеля. Галилей нанес первый удар его механике, потом это разрушение довершил Ньютон, потом Ньютона сменил Эйнштейн. Но все они: и Галилей, и Ньютон, и Эйнштейн, - подобно Аристотелю, считали разум системой, где нет места случайности. Разум должен отыскивать причины явлений, те условия, при которых явление произойдет наверняка. Само собой разумелось, что эти условия, эти причины всегда существуют. Даже у процессов случайных. Когда подбрасывают монету в орлянке, можно узнать заранее, какой стороной она упадет, если учесть сопротивление воздуха, характер броска, неоднородности монеты, свойства стола, на котором идет игра. Конечно, монета упадет на стол скорее, чем мы сможем произвести все эти расчеты, но важен принцип: у случайного процесса есть свои, «настоящие» причины, которые начисто уничтожают его случайность. Именно этими «настоящими» причинами, или, как говорят ученые, динамическими закономерностями, и должен интересоваться разум, ими заканчивается познание явлений, а вероятностные методы - это просто подспорье, удобный прием, дающий возможность разобраться в явлениях, у которых слишком много причин. Словом, ученые смотрели на статистические закономерности, как на бумажные деньги, которые годятся только при условии, что их можно обменять в банке на золото динамических законов. Именно поэтому ученых долгое время не особенно тревожило отставание теории вероятностей: она, как им казалось, была не единственным и уж наверняка не главным орудием познания мира. И вдруг обнаружилось, что это не так. В 1927 году на Сольвеевском конгрессе крупнейшие физики мира пришли к выводу, что в самых глубинах природы, на уровне элементарных частиц, из которых состоит все, что нас окружает, полностью отсутствует динамическая причинность. Там действуют одни лишь статистические законы. Именно они, всегда считавшиеся второсортными, оказались в основах мира. В 1929 году, через две тысячи триста лет после Аристотеля, Бертран Рассел сказал в одной из своих лекций: «Вероятность есть самая важная концепция в современной науке, особенно потому, что никто не имеет ни малейшего понятия об ее истинном смысле». Естественно, что в таких исторических обстоятельствах результаты Колмогорова были в кратчайший срок усвоены математическим миром и вызвали все нарастающий поток работ. Много позднее Норберт Винер писал в автобиографии так: «Все мои по-настоящему глубокие идеи уже содержались в работе Колмогорова прежде, чем они появились в моей собственной работе». Этот мощный поток частично захватил и самого Андрея Николаевича. Среди двухсот двадцати трудов, которые значатся в его библиографии, есть много сочинений, которые производят впечатление частных, только прикладных. У него есть статьи по теории обмена веществ в живом организме и выборочному контролю качества изделий, о вихревом течении жидкостей и статистическом подтверждении теории Менделя (кстати, эта его работа была опубликована еще в 1940 году). Во время Великой Отечественной войны артиллеристы пользовались таблицами стрельбы, разработанными при участии Андрея Николаевича. Но как бы ни были важны практические результаты этих работ, у них есть еще одна, быть может, самая важная, чисто формальная сторона - прием, которым достигнут тот или иной вывод. Методы доказательств, которые использует Колмогоров при решении частных задач, его теоремы оказываются применимыми при решении самого широкого круга проблем, иногда не имеющих отношения к той частной задаче, которую в данном случае решил Колмогоров. Разумеется, решить все эти задачи не под силу одному человеку, даже если этот человек - Колмогоров. Но Андрей Николаевич никогда не оставался в одиночестве: он всегда был человеком университетским, не только исследователем, но и преподавателем. Правда, он лектор не столь безукоризненный, сколько своеобразный. Его ученик Тихомиров пишет, к примеру, так: «Искусство Колмогорова-лектора не бесспорно хотя бы потому, что лекции его навряд ли можно назвать доступными. Андрей Николаевич - лектор и собеседник - ведет разговор, часто отправляясь от идей, им самим лишь недавно до конца осмысленных, оставляя за занавесом их иногда весьма длительную и нелегкую предысторию». Не правда ли, это очень похоже на манеру Урысона, которого слушал молодой Колмогоров? И, подобно Урысону, подобно другим своим учителям, он пытается тут же, на лекции, по вопросу, по реакции, по разным другим, одному ему понятным признакам распознать того, кем стоит заняться, кому следует уделить побольше внимания, а может, и поручить на пробу какую-либо самостоятельную тему. Как говорит сам Андрей Николаевич, работа над темой должна быть «посильной и в то же время требовать максимального напряжения сил». И в этом отношении - в умении подобрать студенту либо аспиранту тему «по росту» - Андрей Николаевич не знает себе равных... Учеников Андрея Николаевича знает каждый математик: Гельфанд, Обухов, Миллионщиков, Яглом, Дынкин, Добрушин, Гнеденко, Прохоров, Арнольд... Теперь у них свои институты, научные направления, свои (а стало быть, косвенно и его) ученики. Как быстро все меняется! Он пришел в университет в двадцатом году, когда еще не существовало нынешнего небоскреба и геометрического пейзажа за окном, когда все факультеты размещались в старом славном казаковском здании на Моховой. Диме Арнольду, который защитил докторскую, будучи еще студентом, кажется, что университет на Ленинских горах был всегда. Андрей Николаевич помнит немногочисленных математиков своей молодости, главенство филологов и то, как это главенство постепенно начало сходить на нет. И как математика ушла с Моховой в новое здание, а потом вновь туда вернулась в обличье математической лингвистики. В 1938 году он писал для Большой Советской Энциклопедии, что нужно развивать «математическое машиностроение». Теперь и это стало привычной вещью. Никого не удивляет, что электронные машины захватили целое университетское здание. Многим кажется, что здание это, и машины, и вахтеры при входе были всегда. С неожиданной быстротой, прочностью и неуклонностью стали материализовываться математические абстракции колмогоровской школы. Теория вероятностей, вооруженная могучей математической техникой, вошла в области, которые прежде никогда не принадлежали точным наукам. Появились исторические исследования, проведенные с помощью аппарата теории вероятностей, возникла математика языка и теория стратегических игр, статистическая теория планирования, предсказания будущего. Прекрасно знать, что среди нас живет человек, который придал и придает этому великолепному оружию не подозреваемую прежде мощь и беспрепятственность.

  • В закладки
  • Вставить в блог
Представьтесь Facebook Google Twitter или зарегистрируйтесь, чтобы участвовать в обсуждении.

В 1-м номере 2021 года читайте о сокровенных дневниках Михаила Пришвина, которые тайно вел на протяжении полувека, жизни реального Ивана Поддубного,  весьма отличавшегося  от растиражированного образа, о судьбе и творчестве Фредерико Феллини, об уникальном острове Врангеля, о братьях Загоскиных – писателе и флотском лейтенанте, почти забытых в наше время, новый детектив Анны и Сергея Литвиновых Раз, два, три, четыре, пять – я иду искать…» и многое другое.



Виджет Архива Смены

в этом номере

Ленин идет к Октябрю

21. «Есть такая партия» (1917, апрель-июнь)