Математические сказки и теория множеств

А Драбкин| опубликовано в номере №948, Ноябрь 1966
  • В закладки
  • Вставить в блог

Разговор с сыном получил совершенно неожиданное продолжение.

Как-то раз мы — двое мужчин — обсуждали проблему выбора профессии. Одна за другой отпали специальности врача и металлурга, инженера и учителя. Постепенно выяснился круг симпатий моего девятилетнего собеседника: он хотел стать спортсменом или ракетчиком. Правда, оказалось, что труд ракетчика представлялся ему как осуществление несложной схемы: кнопку нажал — трах-ба-бах — полетела.

Вот тут-то я и решил пустить в ход педагогику. «А разве не интересно строить ракеты?» — этот вопрос представлялся мне весьма педагогичным. Но сын показал себя, что называется, крепким орешком. Он мыслил категорически и бескомпромиссно. «Чтобы строить ракеты, нужно знать математику, так?» Я согласился с надеждой. «А мне математика не нравится, это такая скука!»

Авторитет отца не позволял сдаваться. И я завел разговор об увлекательнейших математических исследованиях. Успеха эти рассуждения не имели. «Ну что может быть интересного в математике? — убежденно возразил сын, смешно растопырив пухлые пальцы. — Вот если бы были математические сказки, это да...»

Математических сказок я не знал. Более того, твердо верил, что их не существует. И оказывается, ошибался.

«Какими элементами нужно дополнить множество, тащившее репку, чтобы получилось множество, вытащившее репку?» Эту и немало других математических сказок сочинили для ребят семи — девяти лет Ю. Макарычев, К. Нешков и А. Пышкало. Их совместный труд — «Математика в начальных классах» под редакцией вице-президента Академии педагогических наук А. Маркушевича — выпускает издательство «Просвещение».

Признаться, такой подход к математике меня заинтриговал. Еще бы, ведь всего несколько лет назад теория множеств и отношений изучалась лишь на математических факультетах университетов, специалисты в этой области насчитывались десятками. А теперь сказочными множествами оперируют малыши. Я встретился с авторами книги и услышал от них о вещах поистине удивительных.

Оказывается, в структурах мышления ребенка и современного математика есть немало общего. Ребенок, играя со сверстниками, делает логические выводы из некоторых правил: прятаться надо так, чтобы не нашли; бегать так, чтобы не догнали. Все, что логически не сообразуется с правилами, безжалостно отметается. Математик, исследуя тот или иной процесс, также исходит из весьма конкретных правил. По законам логики он выводит следствия.

По такой схеме строится изучение различных структур — арифметических, геометрических и других. А, по определению группы французских математиков, избравших себе коллективный псевдоним Никола Бурбаки, изучение структур и есть задача математики.

Разумеется, параллель между структурами детских игр и структурами математическими весьма условна. Но она позволяет наиболее ярко проиллюстрировать тезис, краеугольный для современной математической школы. Дети с самого раннего возраста подготовлены к восприятию математических категорий. Они подготовлены к этому своим повседневным чувственным опытом. И задача педагога — развить зачатки понятий, созданных этим опытом. Решать же такую задачу лучше всего на основе близких детям игровых, сказочных ситуаций.

Нельзя сказать, чтобы школа до сих пор не учитывала подобного подхода к психике ребенка. Умение детей оперировать с целыми числами — одна мама, три машины, два яблока и три груши — при дальнейшем обучении используется как понятие фундаментальное. Аналогичное положение и с геометрическими навыками — мяч круглый, дом прямоугольный. Без развития таких представлений геометрия была бы невозможна.

Однако умение оперировать целыми числами и простейшие геометрические представления — это отнюдь не все, что можно обнаружить в индивидуальном опыте ребенка. Здесь понадобился подлинный поиск, разведка, которую проводили и математики и психологи. Цель — выяснить, какие первичные навыки, ассоциации, кроме уже названных, создаются в сознании детей их чувственным опытом.

И тут-то открылось неожиданное. Оказывается, дети свободно оперируют множествами, то есть теми самыми категориями, которые несколько лет назад были, уделом узкой группы специалистов-математиков.

Твои игрушки — мои игрушки: два множества. Твои игрушки и мои игрушки вместе: объединение множеств. Твои игрушки плюс мои игрушки, а вот игрушечный домик — наш общий: пересечение множеств. Не зная математических формулировок таких понятий, ребенок тем не менее ими успешно владеет. Причем множество — явление первичное в сравнении с числом, ибо число появляется именно как результат членения множеств.

Но представления о множествах, имеющиеся у ребенка, не развиваются на школьных уроках математики. В результате студентам приходится переучиваться в вузе, чтобы восполнить этот пробел. Подобное переучивание зачастую протекает весьма болезненно.

Корни такого положения вещей уходят в глубокие исторические пласты.

Без малого сто лет назад в мире возникла идея всеобщего обязательного обучения. В разных странах она реализовывалась по-разному. Но имела и общие черты: каждого следовало научить читать, писать и считать. Исходя из этой задачи, создавались учебные программы. Считать, считать, считать — таков был основной принцип математики в начальной школе прошлого века. Принцип, поддерживаемый социальными факторами. Что значило «выбиться в люди»? Это значило стать приказчиком, десятником, счетоводом, бухгалтером, управляющим. А тут везде нужен верный глаз и точный счет, быстрый, безошибочный счет, чтобы и хозяина по миру не пустить и себя не обидеть.

Давно уже нет в нашей стране ни хозяев, ни приказчиков. Давно уже утомительные счетные операции в магазинах и банках всего мира переданы машинам, а детей все учат по той же схеме, что учили их отцов и дедов: счет, счет, счет. Счет за счет развития математического мышления.

А времена-то ведь в корне изменились. И не только социально. На недавнем Международном конгрессе математиков в Москве всерьез стоял вопрос о математической интуиции.

Создалось парадоксальное положение: машинный счет не успевает за технологическими процессами. Пока оператор спросит машину, «как поступить», а машина рассчитает лучший вариант, пройдет столько времени, что ответ уже станет бесполезным: он опоздает. Поэтому на повестку дня встала проблема достоверной гипотезы: оператор не должен спрашивать машину, «как поступить», а должен предлагать ей вариант решения, который машина уточнит и поправит значительно быстрее, нежели найдет ответ по исходным данным. Но вариант решения может возникать лишь на основе интуиции, опыта. А для этого надо уметь математически мыслить.

  • В закладки
  • Вставить в блог
Представьтесь Facebook Google Twitter или зарегистрируйтесь, чтобы участвовать в обсуждении.

В 8-м номере  читайте о «Фаусте петровской эпохи» загадочном Якове Брюсе, об Александре Ланском - одном из фаворитов Екатерины II, о жизни и творчестве Михаила Лермонтова, о русском и американском инженере-кораблестроителе Владимире Ивановиче Юркевиче, о популярнейшем актере Андрее Мягкове. О жизни и творчестве русского художника Ореста Кипренского и многое другое



Виджет Архива Смены

в этом номере

Клеймо «фемы»

Время раскрывает тайны

Ленин идет к Октябрю

2. Самара (1889-1893)

В грозу

Рассказ